Arithmétique - Expert

On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(\left(x \ ; \ y\right)\) vérifiant l'équation: \[ 5x + 18y = 1 \]Trouver un couple solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)

Déterminer tous les couples d'entiers relatifs \(\left(x \ ; \ y\right)\) solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(3 + 3k \ ; \ 2 + 2k\right)\), où k est un entier relatif quelconque

On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(n\) vérifiant le système : \[ \begin{cases} n \equiv 9 \left[11\right] \\ n \equiv 2 \left[13\right] \end{cases} \]Recherche d’un élément de \(\mathcal{S}\).On désigne par \(\left(u\ ; \ v \right)\) un couple d’entiers relatifs tel que \[11u + 13v = 1\] Donner un exemple de couple vérifiant cette égalité.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)

Dans les 3 prochaines questions, on supposera \(u\) et \(v\) inconnus. On pose \[n_0 = 2 \times 11 u + 9 \times 13 v\] Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(u\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.

Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(v\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.

\(n_0\) appartient-il à \(\mathcal{S}\) ?

Que vaut \(n_0\) ? On utilisera le couple \(\left(u\ ; \ v\right)\) trouvé précédemment.

Ecrire la forme générale des solutions de \(\mathcal{S}\).
On écrira la solution en fonction de \(k\) un entier relatif quelconque.

Zoé sait qu’elle a entre -23 et 261 jetons. Si elle fait des tas de 11 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 13 jetons, il lui en reste 2. Combien a-t-elle de jetons ?

On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(\left(x \ ; \ y\right)\) vérifiant l'équation: \[ 16x + 8y = 8 \]Trouver un couple solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)

Déterminer tous les couples d'entiers relatifs \(\left(x \ ; \ y\right)\) solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(3 + 3k \ ; \ 2 + 2k\right)\), où k est un entier relatif quelconque

On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(n\) vérifiant le système : \[ \begin{cases} n \equiv 4 \left[16\right] \\ n \equiv 8 \left[11\right] \end{cases} \]Recherche d’un élément de \(\mathcal{S}\).On désigne par \(\left(u\ ; \ v \right)\) un couple d’entiers relatifs tel que \[16u + 11v = 1\] Donner un exemple de couple vérifiant cette égalité.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)

Dans les 3 prochaines questions, on supposera \(u\) et \(v\) inconnus. On pose \[n_0 = 8 \times 16 u + 4 \times 11 v\] Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(u\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.

Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(v\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.

\(n_0\) appartient-il à \(\mathcal{S}\) ?

Que vaut \(n_0\) ? On utilisera le couple \(\left(u\ ; \ v\right)\) trouvé précédemment.

Ecrire la forme générale des solutions de \(\mathcal{S}\).
On écrira la solution en fonction de \(k\) un entier relatif quelconque.

Zoé sait qu’elle a entre -123 et 227 jetons. Si elle fait des tas de 16 jetons, il lui en reste 4. Si elle fait des tas de 11 jetons, il lui en reste 8. Combien a-t-elle de jetons ?

On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(\left(x \ ; \ y\right)\) vérifiant l'équation: \[ 10x + 16y = 2 \]Trouver un couple solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)

Déterminer tous les couples d'entiers relatifs \(\left(x \ ; \ y\right)\) solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(3 + 3k \ ; \ 2 + 2k\right)\), où k est un entier relatif quelconque